在公元前400多年，古希臘數學家、哲學家芝諾（Zeno）曾經提出過一個令人困惑的悖論，我們先來看看這個悖論的具體內容。
這個悖論的設定是：阿基裏斯（Achilles）是一個英勇的戰士，也是一個奔跑速度很快的人，其速度遠遠地超過了烏龜。有一天，阿基裏斯與一只烏龜進行了賽跑，由于他的奔跑速度很快，因此烏龜要求阿基裏斯給它一些領先的優勢，也就是說，當烏龜跑出一段距離之後，阿基裏斯才開始追。
芝諾指出，當阿基裏斯開始追的時候，烏龜已經跑出了一段距離，我們可以將烏龜此時所在的落腳點稱爲“起始點”，當阿基裏斯跑到“起始點”的時候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達了第二個落腳點，而當阿基裏斯跑到這個“第二個落腳點”的時候，烏龜又向前跑出了一段距離，抵達了第三個落腳點……
所以芝諾給出的觀點就是，在這個過程中，阿基裏斯每一次追到烏龜上一個落腳點的時候，烏龜當前所在的位置就總是會在這個落腳點的前面，在這樣的情況下，雖然阿基裏斯與烏龜的距離在不斷縮短，但他卻永遠都追不上這只烏龜。
可以看到，芝諾從理論上推導出了一個與實際情況明顯相悖的結果，這確實有點令人困惑，因爲你明明知道它是錯的，卻很難反駁。不過“很難反駁”並不代表“不能反駁”，比如說根據現在的量子理論，就可以對其進行反駁。
這個悖論有一個重要的前提，那就是時間和空間都可以無限分割，但在量子理論中，時間和空間並不是可以無限分割的，它們都有一個不可再分割的單位，即普朗克時間（約5.39 x 10^-44秒）和普朗克長度（約爲1.6 x 10^-35米）。
據此我們就可以這樣反駁：當阿基裏斯與烏龜的距離縮小到了1個普朗克長度，或者阿基利斯跑完他與烏龜的距離所需要的時間縮短到了1個普朗克時間的時候，阿基利斯就可以在下一個普朗克時間追上烏龜。那麽，除了量子理論，還有沒有其他的方法進行反駁呢？答案是肯定的。
芝諾實際上是把阿基裏斯追上烏龜的過程分割成了無窮多個階段，每個階段都有一個確定的時間長度，爲了方便討論，我們可以假設阿基裏斯的速度是11米/秒，烏龜的速度是1米/秒，當烏龜跑出10米的時候，阿基裏斯就開始追。
這其實就是一個非常簡單的追擊問題，通過計算可知，阿基裏斯只需要1秒鍾就可以追上烏龜。
然而芝諾的思路卻是這樣的：當阿基裏斯跑到“起始點”的時候，他用了10/11秒的時間，而此時烏龜已經跑到了“第二個落腳點”，距離“起始點”有10/11米，所以當阿基裏斯跑到“第二個落腳點”，他又會用去10/11^2秒的時間，而此時烏龜已經跑到了“第三個落腳點”，距離“第二個落腳點”有10/11^2米，所以當阿基裏斯跑到“第三個落腳點”，他又會用去10/11^3秒的時間，接下來所用的時間段以此類推，如10/11^4秒、10/11^5秒……
可以看到，盡管這些時間長度會越來越短，但它們的數值始終都會是一個正數。
根據我們的直覺，無窮多的正數之和，就應該是一個無限大的數字，而這也是芝諾提出的這個悖論的一個重要前提，如果這個前提成立，那麽阿基裏斯追上烏龜就需要無限長的時間，如此一來，阿基裏斯就永遠追不上烏龜。
但無窮多的正數之和，真的就必定是一個無限大的數字嗎？答案當然是否定的，實際上，如果你不斷地將前面我們計算出的時間長度加起來，你就會發現，無論怎麽加，你計算出的結果都是小于1的。
而這也就意味著，在阿基裏斯追上烏龜之前，無論他經曆了多少個階段，他所用的時間之和都是小于1秒，據此我們就可以得出，芝諾提出的觀點，其實等價于這樣一種說法，即：在小于1秒鍾的時間裏，阿基利斯永遠都追不上烏龜。
顯而易見的是，這是一句“正確的廢話”，因爲根據我們前面的計算，阿基裏斯本來就需要1秒鍾的時間才能追上烏龜，所以這樣的說法當然是正確的，並不是一個悖論。
科學四大神獸1.芝諾的烏龜：縮地成寸。2.拉普拉斯獸：善推演，能知萬物。3.麥克斯韋妖：逆轉時空。4.薛定谔的貓：超越生死
微積分誕生之前，這個的確無法反駁。但是微積分誕生以後，引入極限這個概念這個悖論其實很容易反駁的……不過一般這麽擡杠的人多半都是無賴心理，所以人家壓根兒裝睜眼瞎，無理也要攪三分……所以反駁這類悖論的最好辦法就是能動手絕不逼逼……
明明是科盲的胡扯，忽視人子烏龜的速度大小！
詭辯論 就是歪爭
這個悖論的邏輯錯誤！是人類的思維方式和認知能力問題，而不是人類認知和理解能力問題
追不上的原因是人每次只能走上個時間段烏龜走過的距離，就像一個物體每次只能取走一半，理論上永遠取不完一樣，所以只能無限靠近。
意思就是沒吃飽前永遠餓著[呲牙笑]
人的速度V1 烏龜速度V2 烏龜提前跑的距離L1 人追上烏龜的距離L 時間相同都是t那麽得出:V1*t＝V2*t+L1 推出，（V1-V2）*t=L1 從這個等式能看出，總有一個時間點人和烏龜是處于同一個起跑線上的。那麽問題出在哪呢？因爲時間不管怎麽分都不是固定的一個點，而是一個時間段，一瞬，一秒，一小時…那麽我們定義的速度也是一段一段的…可見數學本身就是個駁論！
下次會不會是靜止的箭？或者忒修斯之船？
這號越來越沒東西發了[呲牙笑]物理四大神獸一只發一篇，又能出三期了
烏龜因爲速度慢，每次走過的路程和用的時間都等比例減少，最後比賽總時間是一個收斂的等比數列，有限的時間內追不上不正常嗎
咋的，還是回合制跑步？
所以有了極限的概念，無窮小等于0
要在數學上證明阿基裏斯與烏龜悖論，需要用到威爾斯特拉斯的極限定義，證明當趨向某一個時間時，阿基裏斯和烏龜跑動的距離的極限是一個值，超過這個距離後，阿基裏斯超過烏龜。
一尺之木，日取其半，萬事莫竭也。高中數學老師很喜歡的一句話。
你已經成功漢駁了啊:在小于1秒鍾的時間裏，永遠都追不上。在大于1秒鍾的情況下，他已經跨過第一個落腳點，並趕上第二個落腳點。
然後這玩意有什麽實際意義。
阿基裏斯爲什麽越跑越短
這個問題就好像一群科學家在研究一滴雨從天上掉下來會不會砸傷人，理論跟實際有時候並不一定是相同的
所以，子彈打不死人，只會與人的距離無限縮小。
這只是時間無限可分罷了，並不是追不上。一秒分成十萬段，你可能永遠也數不完。但還是一秒。
這和一萬米高空的水掉到腦袋上會不會砸死人的道理是一樣的
追不上就追不上呗。追它幹什麽？
這個就不說悖論好吧，因爲它的假設前提就是阿基裏德的下一步永遠都不會落在烏龜前面，那還討論個屁的超越。只有邏輯的循環才能稱爲悖論，這個算什麽悖論？
喝酒時只喝一半的一半，酒永遠喝不完[得瑟][得瑟]
屁話一大堆，老阿速度快，烏龜速度慢，追上烏龜只是用時長短的問題。如果沒有時間那就永遠追不上，但是沒有時間的話這倆貨肯定也不存在了
你明明知道你老婆是錯的，但你卻無法反駁[笑著哭][笑著哭][笑著哭][笑著哭]
真特麽的無聊，一腳都跨過了，真特麽的吃飽了撐的
通篇廢話，簡言之，在追上烏龜的時間點之前，始終是追不上的。
偷換了概念，明明是比速度和距離，結果異化爲比距離比例。這所謂悖論就是比較高明的指鹿爲馬。且不止這個，好幾個悖論和理論都是這樣的。[得瑟][得瑟][得瑟]
你沒發現每次人跑到起始點的時間越來越短，按照這個理論最後就只能靜止不動了，不然稍不留神人就超過烏龜了
追烏龜這個，提出問題的人是鑽了牛角尖，把問題集中在了“距離”上，而特意避開了“時間”。假如全程爲有限距離，問題換個角度問：“請問人在什麽時間點可以追上烏龜？”那麽問題就迎刃而解了[笑著哭]比如100米，1分鍾後人類早就超過烏龜了[笑著哭]
你這是限制了步距
這個就是希臘版的“白馬非馬”吧？杠！
[得瑟]這是謬論，前提是人到了指定位置還要等烏龜跑了再追，這種判定怎麽可能追到？
吃飽了撐的[呲牙笑][呲牙笑][呲牙笑]
我想問問，超過烏龜的時候某一刻是不是就已經追上了？
問題本身就存在缺陷
誰把你腿捆住不讓你跑了？在極短的時間內追上並超過了烏龜，那就是超過了，怎麽還冒出個永遠追不上呢？荒謬！不是人追不上烏龜，而是你的思想被禁锢在追趕烏龜的路上！
我在世界在，我死，世界亡。
遇事不決，量子力學。
老子跳起來就把烏龜丟進高壓鍋。
我不懂數學，明顯是個邏輯問題，肯定是有環節設定都錯了
芝諾的烏龜不能超越在于沒有加入時間單位，總是速度加速度，而限制了速度剩以時度第于數程的公式。
問題涉及速度差 .
騙人的貓，不確定。自然絕對誠實，所有自然現象永遠自洽，有確定性！！擲骰子結果是確定的。不觀測就不能確定，觀測(公理)不足，也不能確定。誠實的人服從公理和經驗，想象骰子是1～6。大膽悖論斯坦禍害公理經驗想象骰子是100，只好解釋稀奇(骰子爛了卡了等)號稱證明了，搞二象性。空間連續可入，位置精度沒有任何極限，對應的速度當然也沒有極限。電荷質量粒子大小不連續，電磁引力斥力也不連續(衍射條紋)，都不是運動不連續不確定。測不准原理肯定是騙！觀測能力不足一直都是人類認知自然的障礙，是不確定的源頭 ，不奇怪。———測量精度與不確定是觀測能力問題，不是物質屬性，無關真假，當然不能用來否定或驗證公理（自然有無之真）。真假確定性是科學的根本，“波粒二象性”是以真假不辨來禍害人類認知的核心根基———確定性。科學追求確定性，騙子招搖過市鼓吹不確定，以認知進化性否定絕對真理蔑視自然，是啥意思？？？他媽媽體重沒測准還是他媽媽嗎？
將數學當物理，將無限計數當時間延續。騙術！
我們有一條真理就是，實踐是檢驗真理的唯一標准。能用事實證明的才是真理，所謂的人跑不過烏龜，讓他們在實驗場地跑一圈不就完事了。
你是不懂什麽叫負數？
直接賞他一個大哔兜
這不是悖論是真理！理論與現實是兩碼事，掌握理論真理的人有可能被燒死，控制現實真理的人就是真理！
難道一個公倍數不能解決？
問題就出在阿基裏斯並不是一直跑到烏龜與它距離的1/2，而是剛好有那麽一刻，他的腳剛好踩在了烏龜現在的位置上，這樣阿基裏斯就追上了烏龜，也就是說，阿基裏斯並不是一直在烏龜的後面，而是有一刻，到達了烏龜的位置
這個芝諾悖論的要點不應當是把阿基裏斯同烏龜前進的距離分別計算，而是應當結合在一起，減少了多少進行計算。那就會出現阿基裏斯追上烏龜的零點及以後 。所以，這個悖論不成立。
科學需要普遍的實用性才行
要麽從論據入手，要麽從邏輯入手。
跟理發師悖論相比就是個屁，把有限時間弄成永遠的拙劣把戲罷了
這是把速度扔掉了？
什麽叫無法反駁，你這叫跟著走，而不是追趕。
閑著沒事幹，講廢話。
我的烏龜跑不過水滴而你超越了所有的水滴但水已經上億年了！你[笑著哭]卻還能喝喝喝喝喝[笑著哭][玫瑰][點贊]
沒見過超車嗎[得瑟]
這不是悖論，這是邏輯錯誤
高三或者大一數學會告訴你，趨勢不重要，無窮多個無窮小相加可以是任何數，或者無窮大或者無窮小[呲牙笑]
還有破船理論、一艘船每次換一塊木板、直到這艘船所有木板都換了一遍、請問：這艘船還是原來的船嗎
謝謝啊，人類永生的辦法被你找到了。照這樣無窮分下去，人永遠走不到死亡那天。我替我老太爺感謝你。
扯淡
爲什麽要等？
給你媽一拳就行了，偷換速度的概念而已，定積分求出來恒小于一
題目本身就有問題，什麽時候永遠？你所謂的永遠是1秒還是1小時還是1年？
時光倒流是數學當物理的騙術！………都是毫無意義的思想實驗。8分鍾前的太陽光，幾十億年前的遙遠星光，地層中幾萬年前的琥珀蒼蠅，以及所謂的超光速觀測，。。。只是影響一些意識信息，用光(超音速)觀測雷電(來的快)，用聲音觀測雷電(有滯後)，都不能改變雷電本身。木啥實質影響。很多是爲了欺騙。看到他媽媽兩歲的照片，宇宙就時光倒流了？？？
時間靜止了
這號越來越沒東西發了物理四大神獸一只發一篇，又能出三期了
哇擦，厲害。加上時間限值範圍，豁然開朗
感覺就是一個一斤有意扯皮的問題！問題很簡單，總長度減去讓去的長度所剩下的長度，這個就是烏龜所要跑完的長度，用這個長度除以烏龜運動的速度，結果是烏龜所需要的時間，而對手則是跑完總長度所需時間，把這兩結果一對比勝，負，平，就出來了。
帶結婚戒子不管帶什麽樣子都是帶的一個誇克、不了戒子有定量單位。有的人不戴自己知道這種知識
這個悖論是對的，因爲它是錯的！但是它的結論是不成立的。
有些人認爲，人的生活之所以有意義，是因爲與牛和昆蟲不同，我們是有意識的。但這是什麽意思呢？這又能說明什麽？難道有意識——甚至是有思想和有哲學氣質——就能保證生活一定有意義嗎？當我們問及生活的”目的”或”意義”時，我們追問的到底是什麽呢？
庸人自擾
爲什麽很難反駁？每次計算方式都不一樣，整個過程都不能算一個問題，而是無數個問題，第一次算10念，第二次1秒，第三次0.1秒，第四次0.01秒，以此類推。
爲什麽我加班老板不給加班費？明天去問一問是不是加班時間無窮多才給[笑著哭]
孫悟空平跟鬥雲永遠回不了十米外的家！這算是胡扯麽？
你信了嗎？？？ 時間不連續！！！ 最後證明時間也是物質！！！ 然後證明，人類是虛幻的！！！
類似辯證，我國先秦諸子百家時期，名家早就提出來了！名家二十一事，其中飛鳥之影未嘗動也；簇矢之疾，而有不行不止之時，都是類似哲學論點。
這個悖論成立的原因是因爲抛開了牛頓加速度，也就是牛頓第二定律。純屬扯淡。
高速上超車算啥？
追上烏龜之前的時間和距離都是收斂于某個極限，在這個極限內結論是成立的，超過極限則是發散的，結論不成立
僞命題，龜還沒走到下一段，人已經遠遠超出了，這個簡直不值一駁。
這還不簡單，你只要問問後面追你的歹徒要不要來個拉力賽不就行了
這個悖論挺無聊，都不需要什麽微積分，單單從邏輯上就能看出是在詭辯，當阿基裏斯追到烏龜上一個落腳點時，烏龜總會在落腳點前面，所以阿基裏斯永遠追不上烏龜；其實這裏面一開始就隱藏了一個默認條件阿基裏斯追到烏龜上一個落腳點＝阿基裏斯在烏龜後面＝阿基裏斯沒追上烏龜，所以這個所謂悖論結論翻譯下就是：在阿基裏斯追上烏龜前，阿基裏斯永遠追不上烏龜[汗]
你先把“永遠”兩個字的含義定義清楚。在我看來這題一點都不複雜，就是個文字遊戲而已。
[得瑟]一本正經的胡說8道