兩種方法求x[√(203+1521x²)-39x]極限

主要內容：

本文通過分子有理化和代數換元法，同時使用羅必塔法則，介紹y=x[√(203+1521x²)-39x]在x正向趨近于無窮大時即lim(x→+∞)x[√(203+1521x²)-39x]的極限。

方法一：分子有理化法

lim(x→+∞)x[√(203+1521x²)-39x]

=lim(x→+∞)x[√(203+1521x²)-39x][√(203+1521x²)+39x]/[√(203+1521x²)+39x]

= lim(x→+∞)x(203+1521x²-1521x²)/[√(203+1521x²)+39x]

=lim(x→+∞)203x/[√(203+1521x²)+39x]

=lim(x→+∞)203/{√[(203/x²)+1521]+39}

=203/[√(0+1521)+39]

=203/78.

方法二：代數換元法

設t=1/x，代入所求極限得：

lim(t→+0)(1/t)*{√[203+1521(1/t)²]-39(1/t)}

=lim(t→+0){√[(203t²+1521)]-39}/t²,

進一步由羅必塔法則計算極限爲

=lim(t→+0){203t/[2√(203t²+1521)]}/t

=lim(t→+0)203/[2√(203t²+1521)]

=203/[2√1521]=203/78.