介紹兩種方法計算含有xy乘積的二元函數的最小值

※.問題由來

若實數x,y滿足W(x,y)=901x ²-60xy+y²-20y+654x+779,則w的最小值是多少？

本題主要考查配方法及導數的應用，非負數的性質，解題時注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．

※.配方法求解

運用配方法將W(x,y)=901x²-60xy+y²-20y+654x+779變形爲W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然後根據非負數的性質求出的最小值即可．

解：W(x,y)=901x²-60xy+y-20y²+654x+779

=900x²-60xy+y+600x-20y²+100+x²²+54x+729-50

=(30x-y)²+20(30x-y)+100+(x+27)²-50

=(30x-y+10)²+(x+27)²-50

∵x,y爲實數，

∴(30x-y+10)²≥0，(x+27)²≥0,

此時x=-27，y=-800,

∴W的最小值爲：Wmin=-50.

※.導數法求解

W(x,y)=901x²-60xy+y²-20y+654x+779，求出W分別對變量x,y的偏導數，由偏導數同時爲0來求出多元函數W的最小值。

W|x’=1802x-60y+654,

W|y’=-60x+2y-20;

令W|x’=W|y’=0，則：

60y-1802x=654,

2y-60x=20.

解二元一次方程組，有：

x=-27,y=-800;

此時將x,y代入到W表達式中，有：

Wmin=W(-27,-800)

=901*(-27)²-60*(-27)*(-800)+(-800)²

²-20*(-800)+654*(-27)+779,

=656829-1296000+640000--16000+(-17658)+779,

=-50.