通過換元法,並根據立方和公式,介紹根式方程3√(3+5x)+3√(6-5x)=3的計算過程。
解:設3√(3+5x)=m,3√(6-5x)=n,則有:
3+5x=m^3,6-5x=n^3,
兩個方程相加有:m^3+n^3=3+6=9。
根據題意,將m,n代入已知方程有:
m+n=3,兩邊同時立方有:
(m+n)^3=3^3
m^3+n^3+3mm(m+n)=3^3,
9+3mn*3=3^3,即可求出mn=2。
此時m,n可以看成是y的一元二次方程的解,即:
y^2-3y+2=0,使用式子交叉因式分解,有:
(y-1)(y-2)=0,
所以y1=1或者y2=2.
(1)當y1=1時,即3√(3+5x)=1,兩邊立方,此時求出x1=-2/5;
(2)當y2=2時,即3√(3+5x)=2,兩邊立方,此時求出x2=1。
小結:
本題主要涉及立方根、立方和差公式以及因式分解等知識。