求y＂+24y'+128y=(49x+47)e^x的微分方程的通解。

解：對微分方程y＂+24y'+128y=0的特征方程爲：

r^2+24r+128=0

(r₁+8)(r₂+16)=0

所以：r₁=-8,r₂=-16.

此時二階常系數線性微分方程的通解爲:

y*=C₁e^(-8x)+C₂e^(-16x).

又因爲f(x)=(49x+47)e^x,λ=1不是方程的根，

設其特解爲y₁=(px+q)e^x，分次求導得：

y₁'=pe^x+(px+q)e^x=(px+p+q)e^x

y₁＂=pe^x+(px+p+q)e^x=(px+2p+q)e^x

代入微分方程有：

(px+2p+q)e^x+24(px+p+q)e^x+128(px+q)e^x=(49x+47)e^x,

化簡得：

[(1+24+128)px+(2+24)p+(1+24+128)q]e^x=(49x+47)e^x,

(153px+26p+153q)e^x=(49x+47)e^x,

對應項系數相等，則：

153p=49,

26p+153q=47；

解p，q方程組得：p=49/153,q=5917/153²(或=5917/23409)。

此時微分方程的特解y₁=(49/153*x+5917/153²)e^x。

則該微分方程的通解爲：

y=y*+y₁

=C₁e^(-8x)+C₂e^(-16x)+(49/153*x+5917/153²)e^x。