1.積分∫dx/(x²-12x+63)的計算。

解：根據積分函數的特點，分母看作成二次函數，則判別式△=12²-4*63<0,即與x軸沒有交點，故分母函數可以通過配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根據不定積分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C變形計算即可，有：

∫dx/(x²-12x+63)

=∫dx/(x²-12x+36+27),

=∫dx/[(x-6)²+27],

=(1/27)∫dx/[1+(x-6)²/27],

=(1/√27)∫d(x/√27)/[1+(x-6)²/27],

=(1/√27)arctan[(x-6)/√27]+C。

2.計算∫(38x-17)dx/(19x²-17x+24)。

解：觀察積分函數特征，對于積分函數的分母有(19x²-17x+24)'=38x-17，剛好是分母表達式，故本題可以用積分公式∫dx/x=lnx+c來變形計算。

∫(38x-17)dx/(19x²-17x+24)

=∫d(19x²-17x)/(19x²-17x+24),

=∫d(19x²-17x+24)/(19x²-17x+24),

=ln|19x²-17x+24|+C。

3.計算∫(3x²-33)²dx.

解：對此類型總體思路是降次積分，有兩種思路，思路一是將積分函數2次冪展開，再分別計算不定積分，即：

∫(3x²-33)²dx

=∫(3²x⁴-198x²+33²)dx,

=∫3²x⁴dx-∫198x²dx+∫33²dx,

=1/5*3²x⁵-1/3*198x³+33²x+C.

思路二：通過分部積分進行計算，有：

∫(3x²-33)²dx

=(3x²-33)²x-∫xd(3x²-33)²，

=(3x²-33)²x-4*3∫x²(3x²-33)dx，

=(3x²-33)²x-4*3∫(3x⁴-33x²)dx，

=(3x²-33)²x-4*3²∫x⁴dx+4*3*33∫x²dx,

=(3x²-33)²x-(4/5)*3²x⁵+2/3*198x³+C。

4.計算∫(83/60x+10x/9)²dx.

解：本題主要采用將積分函數通過平方展開後，再分別進行積分，有：

∫(83/60x+10x/9)²dx

=∫[(83/60x)²+2*83/60*10/9+(10x/9)²]dx,

=(83/60)²∫dx/x²+83/27∫dx+(10/9)²∫x²dx,

=-(83/60)²/x+83x/27+1/3*(10/9)²x³+C。

5.計算∫(5x³-22x²+41)^67(15x²-44x)dx不定積分計算

解:本積分函數的特征是變形指數低的部分，即後一項，又因爲(5x³-22x²+41)'=15x²-44x,所以可以使用湊分法進行不定積分計算，則：

∫(5x³-22x²+41)^67(15x²-44x)dx

=∫(5x³-22x²+41)^67d(5x³-22x²+41),

=(1/68)*(5x³-22x²+41)^68+C.

6.計算∫xln(39x-98)dx。

解:本積分出現自然對數與一次函數x的乘積形式，思路是將x湊分到積分單元中，再進行分部積分法，有：

∫xln(39x-98)dx

=(1/2)∫ln(39x-98)dx²，

=(1/2)x²ln(39x-98)-(1/2)∫x²dln(39x-98),

=(1/2)x²ln(39x-98)-(39/2)∫x²dx/(39x-98),

=(1/2)x²ln(39x-98)-∫(x+98/39)dx-

(98/39)²∫d(39x-98)/(39x-98)

=(1/2)x²ln(39x-98)-(1/2)x²-98x/39-