不定積分∫dx/(x^4+7)的計算步驟

主要內容：

本題通過湊分、換元、裂項、反正切函數導數、冪函數導數等方法和知識，介紹不定積分∫dx/(x^4+7)的主要計算步驟。

※.主要步驟

∫dx/(x^4+7)

=∫dx/[7 (x^4/7+1)

=(1/7)∫dx/[(√x/√7)^4+1]

設√x/√7=t，則x=√7t，代入得：

=(1/7)∫d(√7t )/(t^4+1),

=(1/√7)∫dt/(t^4+1)

=(1/2√7)∫[(t^2+1)-(t^2-1)]dt/(t^4+1)，此步驟爲對分子進行等量變換，

=(1/2√7)∫(t^2+1)dt/(t^4+1)- (1/2√7)∫(t^2-1)dt/(t^4+1)，此步驟爲裂項，

=(1/2√7)∫(t^2+1)dt/(t^4+1)- (1/2√7)∫(t^2-1)dt/(t^4+1)，兩項分子分母同時除以t^2得，

=(1/2√7)∫[1+(1/t^2)]dt/[t^2+(1/t^2)]- (1/2√7)∫[1-(1/t^2)]dt/[t^2+(1/t^2)]，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/[t^2+(1/t^2)]- (1/2√7)∫d(t+1/t)/[t^2+(1/t^2)]，

此步驟爲分子湊分法，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/[(t-1/t)^2+2]-(1/2√7)∫d(t+1/t)/[(t+1/t)^2-2],此步驟爲根據分子對分母進行配方計算，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/2[(t-1/t)^2/2+1]-(1/2√7)∫d(t+1/t)/{[(t+1/t)-√2][ (t+1/t)+√2]},

此步驟前者對分母提取公因式2，後者使用平方差公式，即：

=(1/2√7)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/4√14){∫d(t+1/t)/[(t+1/t)-√2]-∫d(t+1/t)/[(t+1/t)+√2]},

=(1/2√7)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/4√14)ln|[(t+1/t)-√2]/ [(t+1/t)+√2]|+C.

由t=√x/√7知1/t=√7/√x，則：

t-1/t=(x^2-7)/√7x,t+1/t=(x^2+7)/√7x代入上式，有，

=(1/2√7)arctan[(x^2-7)/√2x]-(1/4√14)ln|[(x^2+7)/√7x-√2]/ [(x^2+7)/√7x+√2]|+C,

對後者進行等量變形，則：

所求式

=(1/2√7)arctan[(x^2-7)/√14x]-(1/4√14)ln|[(x^2+7)-√14x]/ [(x^2+7)+√14x]|+C.