導數的定義應用舉例

[知識點]：函數y=f(x)的導數的極限定義爲：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例題1：設函數f(x)在x=3處的導數爲27，則極限lim(△x→0)[f(3+64△x)-f(3)]/(55△x)的值是多少？

解：本題考察的是導數的極限定義，本題已知條件導數爲27，其定義爲：lim(△x→0)[f(3+△x)-f(3)]/(△x)= 27。

對所求極限進行變形有：

lim(△x→0) 64*[f(3+64△x)-f(3)]/(55*64△x)

=lim(△x→0) (64/55)*[f(3+64△x)-f(3)]/(64△x),

=(64/55)lim(△x→0) [f(3+64△x)-f(3)]/(64△x),

=(64/55)*27,

=1728/55.

例題2:有一小車的運動方程爲s(t)=12t²+46/t(t是時間，s是位移)，則該小車在時刻t=6時的瞬時速度爲多少？

解:本題考察的是導數定義知識，運動方程s(t)對時間t的導數就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(12t²+46/t)',

=2*12t-46/t²,

當t=6時，有：

v(6)=2*12*6-46/6²,

v(6)=409/18,

所以小車在時刻t=6時的瞬時速度爲409/18。