求曲線e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1在x=0處的法線和切線方程

主要內容：

本文通過導數的幾何意義，以及直線的點斜式方程等相關知識，介紹計算曲線e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1在x=0處的法線和切線方程的主要過程。

主要過程：

※.切點求解

根據題意，當x=0，則有：

e^(0+28y)-30cos0=37*e^0+1,即：

e^28y-30=37+1，即e^28y=68，則y=(1/28)*ln68，

所以切線A的坐標爲：A(0, (1/28)*ln68)。

※.切線方程求解

對曲線方程e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1，兩邊同時對x求導，有：

e^(4x+28y)*(4+28y')+30sinxy*(y+xy')=37e^x,

4*e^(4x+28y)+28y'*e^(4x+28y)+30sinxy*(y+xy')=37e^x,

4*e^(4x+28y)+28y'*e^(4x+28y)+30ysinxy+30xsinxy*y'=37e^x,

y'[28e^(4x+28y)+30xsinxy]=37e^x-30ysinxy-4*e^(4x+28y),

所以: y'=[37e^x-30ysinxy-4*e^(4x+28y)]/[28e^(4x+28y)+30xsinxy],

當x=0時，則有：y'=(37-4e^28y)/28e^28y，進一步有：

y'=(37-4*68)/(28*68)=-235/1904。

所以切線方程爲：y-(1/28)ln68=-235x/1904，即：

y=-235x/1904+(1/28)ln68。

※.法線方程求解

根據切線的斜率k1與法線方程的斜率k2的乘積爲-1，

可計算出法線方程的斜率k2=1904/235,

進一步由直線點斜式即可求出法線方程爲：

y-(1/28)ln68=1904x/235，即：

y=1904x/235+(1/28)ln68。