證明不等式：12xˣ≥x⁴+4x²+7

※.函數單調性證明法

對不等式證明進行分析，

證明：12xˣ≥(x⁴+4x²+7)，

即證明：ln12xˣ≥ln(x⁴+4x²+7),由兩邊同時取對數，

變形爲：ln12+xlnx-ln(x⁴+4x²+7)≥0,

設f(x)=ln12+xlnx-ln(x⁴+4x²+7)，並取x＞0，可知：

f(1)=ln12+0-ln(1+4+7)=ln12-ln12=0.

對x求導有：

f'(x)=lnx+1-(4x³+8x)/(x⁴+4x²+7),

=lnx+[(x⁴+4x²+7-4x³-8x)/(x⁴+4x²+7)]，

=lnx+[(x-1)(x³-3x²+x-7)/(x⁴+4x²+7)]，

本處要用到一個重要不等式，對于任意的不相等正數a,b，有不等式(a-b)/(lna-lnb)≤(a+b)/2成立。

本題取a=x，b=1，則有：

(x-1)/(lnx-ln1)≤(x+1)/2,

化簡爲：lnx≥2(x-1)/(x+1),代入有：

f'(x)≥2(x-1)/(x+1)+[(x-1)(x³-3x²+x-7)/(x⁴+4x²+7)],

=(x-1)[2*(x⁴+4x²+7)+(x+1)*(x³-3x²+x-7)]/[(x+1)(x⁴+4x²+7)],

=(x-1)(3x⁴-2x³+6x²-6x+7)/[(x+1)(x⁴+4x²+7)],

設g(x)=3x⁴-2x³+6x²-6x+7,進行配方有：

g(x)=3(x⁴-2x³/3+x²/9)+6x²-x²/3-6x+7

=3(x²-x/3)²+17x²/3-6x+7

=3(x²-x/3)²+17/3*(x²-18x/17+9²/17²)+7-27/17,

=3(x²-x/3)²+17/3*(x-9/17)²+(7*17-27)/17,

可知g(x)＞0，則：

1.當x≥1時，f'(x)≥0，

2.當0＜x＜1時，f'(x)＜0，

所以當x=1時，f(x)有最小值，即：

ln12+xlnx-ln(x⁴+4x²+7)≥f(1)=0,

綜上，12xˣ≥x⁴+4x²+7得證。