導數的幾何意義應用舉例

例題1：求函數f(x)=x(18x+22)³的圖像在點(2,f(2))處的切線的斜率k。

[知識點]：導數的幾何意義就是曲線上點的切斜的斜率。

解：本題對函數求導有：

f' (x)=(18x+22)³+3x(18x+22)²*18

=(18x+22)²*(18x+22+3*18x)

=(18x+22)²*(4*18x+22)

當x=2時，有：

斜率k=f'(2)

=(18*2+22)²*(4*18*2+22)

=3364*166

=558424，即爲本題所求的值。

例題2：若曲線y=13x/7-2lnx在x=x₀處的切斜的斜率爲5/9,則x₀的值是多少?

解：對曲線y進行求導，有：

y'=13/7-2/x，

根據導數的幾何意義，當x=x₀時，有：

13/7-2/x₀=5/9，

即：2/x₀=13/7-5/9=82/63,

所以x₀=63/41.