4個單個數學函數單調等性質解析之十一
主要內容：
■單個函數性質之一：函數y=(x-24)(7x+8)^3的性質
■單個函數性質之二：函數y=√[11+√(21-6x)]的性質
■單個函數性質之三：函數y=(x-25)(x-13)(x-10)的主要性質
■單個函數性質之四：函數y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的性質
■單個函數性質之一：函數y=(x-24)(7x+8)^3的性質
※.函數定義域：
根據函數的特征，函數是冪函數的乘積，可知自變量x可以取任務實數，所以函數y=(x-24)(7x+8)^3的定義域爲：(-∞，+∞)。
※.函數的單調性：
∵y=(x-24)(7x+8)^3，
∴dy/dx=(7x+8)^3+(x-24)*3(7x+8)^2*7
=(7x+8)^3+21(x-24)(7x+8)^2
=(7x+8)^2[(7x+8)+21(x-24)]
=(7x+8)^2(28x-496).
令dy/dx=0，則x1=124/7≈17.71,此時函數的單調性爲：
(1).當x∈(-∞，124/7)時，dy/dx<0，此時函數爲減函數；
(2).當x∈[124/7,+∞)時,dy/dx≥0，此時函數爲增函數。
※.函數的凸凹性
∵dy/dx=(7x+8)^2(28x-496).
∴d^2y/dx^2=14(7x+8)(28x-496)+28(7x+8)^2
= (7x+8) [14(28x-496)+28(7x+8)]
=42(7x+8) (14x-160)
令d^2y/dx^2=0，則(7x+8) =0或者(14x-160)=0，
求出x2=-8/7≈-1.142x3=80/7≈11.428,此時函數的凸凹性爲：
(1).當x∈(-∞，-8/7)，(80/7，+∞)時，d^2y/dx^2>0，此時函數爲凹函數；
(2).當x∈[-8/7,80/7]時, d^2y/dx^2≤0，此時函數爲凸函數。
■單個函數性質之二：函數y=√[11+√(21-6x)]的性質
※.主要內容：
主要介紹根式複合函數y=√[11+√(21-6x)]的定義域、單調性、凸凹性、極限等性質，並通過導數知識解析函數的單調區間和凸凹區間。
※.函數的定義域
對于根式函數y=√[11+√(21-6x)]，要求爲非負數，所以有：
21-6x≥0，即x≤7/2≈3.50,
則函數的定義域爲：(-∞,7/2]。
※.函數的單調性
兩種思路來解析函數的單調性。
(1)函數單調性法
該函數y=√[11+√(21-6x)]由以下函數複合函數，即：
y=√u，u=11+√v，v=21-6x，
其中v爲一次函數，且爲減函數，則u=11+√v也爲減函數，進一步知y在定義域上也爲減函數。
(2)函數導數法：
根式函數y=√[11+√(21-6x)]，對x求導有：
dy/dx=(11+√(21-6x)) '/2√[11+√(21-6x)]
=-(6/2√(21-6x)) /2√[11+√(21-6x)]
=-3/[2√(21-6x)*√(11+√21-6x)]＜0,
所以函數y爲減函數。
※.函數的凸凹性
∵dy/dx=-3/[2√(21-6x)*√(11+√(21-6x)]
∴d^2y/dx^2=(3/2)*[√(21-6x)*√(11+√(21-6x)] '/[(21-6x)( 11+√(21-6x)],
=(3/2)*[-6√(11+√(21-6x)/2√(21-6x)+√(21-6x)* (√(21-6x)'/2√(11
+√(21-6x)] /[(21-6x)( 11+√(21-6x)],
=-(9/4)[22+√(21-6x)]/ √[(21-6x)( 11+√(21-6x)]^3＜0.
所以函數爲凸函數。
※.函數的極限
lim(x→7/2) √(11+√(21-6x))= √11;
lim(x→0) √[11+√(21-6x)]=√(11+√21);
lim(x→-∞) √[11+√(21-6x)]=+∞。
■單個函數性質之三：函數y=(x-25)(x-13)(x-10)的主要性質
※.函數的定義域
根據函數的特征，函數自變量x可取全體實數，則函數的定義域爲：(-∞，+∞）。
※.函數的單調性
本題介紹通過導數的知識，計算函數的一階導數，得到函數的駐點，來解析函數的單調性並求出函數的單調區間。
∵y=(x-25)(x-13)(x-10)
∴dy/dx
=(x-13)(x-10)+(x-25)[(x-10)+(x-13)]
=(x-13)(x-10)+(x-25)(2x-23)
=3x^2-2*48x+705。令dy/dx=0,則：
x^2-32x+235=0，由二次方程求根公式求出兩根爲：
x1=(16+√21)≈20.5;
x2=(16-√21)≈11.4。
此時，判斷函數的單調性有：
(1).當x∈(-∞，11.4]∪[20.5,+∞）時，
dy/dx≥0，函數y在定義域上爲增函數；
(2).當x∈(11.4,20.5)時，dy/dx＜0，
函數y在定義域上爲減函數。
※.函數的凸凹性
求出函數的二階導數，得到函數的拐點，並解析函數的凸凹性及凸凹區間。
∵dy/dx=x^2-32x+235,
∴d^2y/dx^2=2x-32。
令d^2y/dx^2=0，則x=16.
(1).當x∈(-∞，16]，d^2y/dx^2≤0，
此時函數y爲凸函數；
(2).當x∈(16，+∞），d^2y/dx^2＞0，
此時函數y爲凹函數。
※.函數的極限
lim（x→-∞）(x-25)(x-13)(x-10)=-∞；
lim（x→+∞）(x-25)(x-13)(x-10)=+∞。
■單個函數性質之四：函數y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的性質
※.主要內容：
主要介紹函數y=15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)的定義域、單調性、凸凹性和極限等性質，並通過導數知識求解函數單調區間和凸凹區間的主要過程。
※.函數定義域：
根據函數特征，函數主要由對數和分數函數組成，則根據對數函數和分數函數定義要求，有：
(5+2x)/27x＞0，即不等式解集等同于27x(5+2x)>0，則x>0或者x＜-5/2, 所以函數的定義域爲：(-∞，-5/2)∪(0，+∞)。
※.函數的單調性：
本例主要通過函數導數來解析函數的單調性，步驟如下：
∵y= 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15[ln(5+2x)-ln27x]-75/(5+2x),
∴dy/dx=15[2/(5+2x)-1/x]+150/(5+2x)^2
=15[2x-(5+2x)]/[x(5+2x)]+150/(5+2x)^2
=75{2/(5+2x)^2-1/[x(5+2x)]}
=-375/[x(5+2x)^2]。
可知函數的單調性與x的符號有關，即：
(1)當x∈(0，+∞)時，即x>0，此時dy/dx<0，則函數爲減函數。
(2)當x∈(-∞，-5/2)時，即x<0，此時dy/dx>0，則函數爲增函數。
進一步分析可知當x趨近無窮大處有極小值。
※.函數的凸凹性：
∵dy/dx=-375/[x(5+2x)^2]
∴d^2y/dx^2=375*[(5+2x)^2+4x(5+2x)]/ [x^2(5+2x)^4]
=375*[(5+2x)+4x]/ [x^2(5+2x)^3]
=375*(5+6x)/ [x^2(5+2x)^3]
令d^2y/dx^2=0,則有5+6x=0,即x=-5/6,
此時根據函數的定義域，函數的凸凹性及凸凹區間如下：
(1)當x∈(0，+∞)時，有(5+6x)>0且(5+2x)^3>0，則d^2y/dx^2>0，所以此時函數爲凹函數。
(2)當x∈(-∞，-5/2)時，有(5+6x)<0且(5+2x)^3<0，則d^2y/dx^2>0，所以此時函數爲凹函數。
綜合可知函數在定義區間上均爲凹函數。
※.函數的極限：
根據函數的定義域，函數的主要特征極限如下：
Lim(x→+∞) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15ln(2/27);
Lim(x→-∞) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)=15ln(2/27);
Lim(x→-5/2-) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)= +∞;
Lim(x→0+) 15ln[(5+2x)/27x]-75/(5+2x)= +∞。
